Classifying Numbers — Integer Part, Decimal Part, and Density
Putting everything together: classify, locate, decompose.
이번 차시는 Ⅰ-1단원의 종합 마무리입니다. 지금까지 배운 제곱근의 정의, 무리수와 유리수의 구분, 실수의 대소관계 — 이 모든 것을 한 곳에 모읍니다.
특히 — ① 다양한 모양의 수가 주어졌을 때 유리수인지 무리수인지 빠르게 판별하는 능력, ② 무리수의 정수부분과 소수부분을 분리하는 기술, ③ 실수 사이의 조밀성(두 실수 사이에 무수히 많은 실수가 있음) 같은 깊은 성질을 다룹니다.
이러한 종합 능력은 다음 단원 Ⅰ-2(근호를 포함한 식의 계산)의 토대가 됩니다.
Every number can be placed in its exact category.
💡 핵심: 모든 수는 실수 $\mathbb{R}$의 한 점이며, 동시에 유리수이거나 무리수입니다 (둘 다는 불가). 작은 집합($\mathbb{N}$)에 속한 수는 자연스럽게 큰 집합($\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$)에도 속함.
Splitting an irrational into "the integer part" and "the rest".
임의의 양수 $x$에 대해 — $x$보다 크지 않은 가장 큰 정수를 정수부분, 나머지 $0$ 이상 $1$ 미만의 수를 소수부분이라 합니다.
$\sqrt{2} \approx 1.414\ldots$
핵심: 소수부분을 $0.414\ldots$로 적지 말고 식 그대로 $\sqrt{2} - 1$로 표현! 무리수는 정확한 소수 표현이 불가능하기 때문.
$\sqrt{10} \approx 3.162\ldots$ ($3^2 = 9 < 10 < 16 = 4^2$)
$\sqrt{a}$의 정수부분 찾기: $a$를 두 연속 제곱수 사이에 넣기. $n^2 \le a < (n+1)^2$이면 정수부분 $= n$.
Click each number — drop it in the correct bin.
Quick checks on classification and decomposition.
Classification and decomposition.
① $\sqrt{16} = 4$ (정수, 유리)
② $\sqrt{17}$ — 17은 비제곱수 → 무리수
③ $3.14$ (유한소수, 유리)
④ $\pi$ — 원주율 → 무리수
⑤ $0.999\ldots = 1$ (실은 정수)
⑥ $\sqrt{0.25} = 0.5$ (유한소수, 유리)
$2^2 = 4$, $3^2 = 9$. $4 < 5 < 9$ → $2 < \sqrt{5} < 3$. 따라서 정수부분 $a = 2$.
$b = \sqrt{5} - a = \sqrt{5} - 2$. (소수 형태가 아니라 식 형태로!)
★ basic · ★★ standard · ★★★ challenge.
모든 실수는 단 하나의 분류 — 유리수이거나 무리수. 무리수는 정수부분과 소수부분으로 나뉘며 소수부분은 식 그대로 ($\sqrt{a} - n$) 표현. $\sqrt{a}$의 정수부분은 $a$를 연속 제곱수 사이에 넣어서 찾는다. 이로써 Ⅰ-1단원의 모든 도구가 한 곳에 모였다.